《微积分》教学大纲（本科A1班）

适用专业：管理工程系本科

课程编号：                  总学时：120        学分：15

第一部分  使用说明

一、课程性质、地位和教学目标

1、课程的性质、地位

    《微积分》是管理系工商企业管理专业、会计电算化专业和电子商务专业的专业基础课程，是为培养学生有关高等数学的基本理论、运算方法和应用能力而设置的一门必修的重要的基础理论课。一方面，它为学生学习后续课程提供了必不可少的数学知识，同时也为解决实际问题提供了有效的数学方法，是学生学习专业理论课程的基础；另一方面，它通过各个教学环节，逐步培养学生具有初步抽象概括的能力、一定的逻辑推理能力、比较熟练的运算能力以及自学能力，注意培养学生综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力。

2、教学目标

通过对本课程的学习，使学生比较系统地掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，对极限思想与方法有较深刻的认识，弄清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系。能运用高等数学的基本知识解决一些实际问题。通过高等数学的学习，培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，比较熟练的基本运算能力、综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力以及自学能力等，为使学生成为技能型、应用型人才奠定基础。

二、教学要求

通过本课程的教学，使学生建立变量的思想，认识到学好函数关系的重要性。使学生对极限的思想和方法有初步认识，对静止与变化、量变与质变以及有限与无限等辩证关系有初步的了解。使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，提高学生空间想象能力和用代数方法研究几何图形的能力。培养学生辩证唯物主义观点，运用数学方法解决一些较简单的实际问题的初步训练，为学习其它课程和今后工作的需要，打下必要的基础。

本大纲对概念的理解从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分，对运算方法从高到低用“熟练掌握”、“掌握”、“会或能”三级区分，“熟悉”一词相当于“理解”或“熟练掌握”。

三、实施说明

1、成绩考核方法：本课程为考试课程。总评=平时+平时测验+期末。其中，平时占总评成绩的15%，平时测验占总评成绩的15%，期末占总评成绩的70%。

2、教学方法、教学手段：讲练结合。

四、作业要求

  每次课应有78道作业题来巩固知识，应通过作业考察学生对于基础的理论知识、基本的运算方法的掌握，使学生通过作业加强对基础知识的掌握。

五、本课程与其它课程的联系

学习本课程应具备初等数学（高中水平）知识，通过本课程的学习为学生的后续专业课程的学习提供必需的方法和工具。

六、教材和参考数目

《微积分》(上下册)（第三版）    主编：吴赣昌     人民大学出版社。

《微积分》(上下册)（管理类）    主编：徐兵     高等教育出版社，2008.6。

《高等数学》(上下册)（理工类）  主编：徐兵     高等教育出版社，2008.6。

《高等数学》(上下册) 第五版  主编：同济大学应用数学系，高等教育出版社，2004.12。

第二部分 教学内容纲要

一

1、 标题

函数、极限、连续

2、 具体内容

函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，简单应用问题的函数关系的建立，数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，两个重要极限，函数连续的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质 。

3、 教学要求

① 函数

掌握函数、反函数、复合函数、基本初等函数、初等函数的概念。了解函数的基本性质——单调性、周期性、奇偶性、有界性。会求函数的函数值和定义域。熟练掌握复合函数的分解。了解分段函数的概念。

② 数列的极限

理解数列极限的描述性定义。理解数列极限的定义；会判断数列的敛散性，了解数列极限存在的两个准则。

③ 函数的极限

理解函数极限的描述性定义。理解函数极限、左极限和右极限的定义。理解函数极限存在的充要条件，并会利用左极限和右极限讨论函数极限的存在性。

④ 极限的运算

 掌握极限四则运算法则，熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

    ⑤ 无穷小量

理解无穷大和无穷小的定义以及两者之间的关系。理解无穷小量阶的概念，会将两个无穷小量进行比较，会证明两个无穷小量是否等价，会利用等价无穷小量代换求极限。

⑥ 函数的连续性

知道函数在某一点连续的概念。会判断函数在某点的连续性及间断点的类型。理解闭区间上连续函数的性质，会求连续函数和分段函数的极限。了解零点存在定理。

4、教学重点和难点

教学重点：函数、反函数、复合函数、基本初等函数、初等函数的概念。复合函数的分解。掌握极限四则运算法则。两个重要极限求极限的方法。

教学难点：利用数列极限存在的两个准则求极限。

二

1、标题

导数与微分

2、具体内容

    导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，　基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数 ，一阶微分形式的不变性。

3、教学要求

① 导数的概念

理解导数的定义；会求左导数和右导数。会根据导数的定义求某些简单函数的导数；了解可导与连续的关系。理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程和法线方程。

② 求导法则

熟练掌握导数的基本公式和运算法则，并会用这些公式和法则求函数的导数。熟练掌握复合函数的求导法。

③ 隐函数、参数式函数的一阶导数  

掌握隐函数求导的方法，并能熟练应用。了解反函数的导数和对数求导法。掌握由参数方程所确定的函数的求导方法。会求隐函数、参数式函数的一阶导数，隐函数的二阶导数。

④ 高阶导数

理解高阶导数的定义，会求初等函数的一、二阶导数。会求简单函数的高阶导数。

⑤ 导数的初步应用

知道边际函数和弹性函数的概念。会求边际函数和弹性函数。

⑥ 微分

理解微分的定义和意义。掌握微分的计算方法，了解微分的应用。

4、教学重点和难点

教学重点：导数的概念。导数的四则运算法则、复合函数求导法则。隐函数求导的方法。微分的计算方法。

教学难点：导数的概念和运用定义求导数，隐函数的二阶导数。

三

1、标题

微分中值定理和导数的应用

2、具体内容

 微分中值定理，洛必达（L’Hospital）法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数最大值和最小值。

3、教学要求

① 中值定理

知道罗尔、拉格朗日中值定理的内容，理解其几何意义，并会简单的应用。

② 洛必达法则

掌握用罗必达法则求极限 的方法。掌握求极限、、 、 和 的方法。

③ 函数的单调性

掌握利用导数符号判断函数单调性的方法，掌握利用函数单调性证明不等式的方法。

④ 函数的极值

理解极值的概念，掌握求函数极值的方法及求实际问题最值的方法。理解函数极值的概念以及极值存在的充分条件和必要条件。会利用导数判断函数的单调性，熟练掌握求函数极值的方法。会求在给定闭区间上的最大值和最小值及求经济问题最值的方法。

⑤ 函数图形的凹凸性，曲线的拐点

掌握求函数图形的凹凸性及曲线的拐点的方法。

⑥ 函数作图

能描绘简单函数的图象，会求曲线的水平渐近线、垂直渐近线。

4、教学重点和难点

教学重点：拉格朗日中值定理。罗必达法则，函数单调性的判定方法，求函数极值的方法及求经济问题最值的方法。

教学难点：拉格朗日中值定理的运用。

四

1、标题

不定积分

2、具体内容

     原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分的换元积分法与分部积分法。 

3、教学要求

① 不定积分概念

理解原函数与不定积分的概念。熟练掌握不定积分的基本性质与基本积分公式。

②第一类换元积分法

掌握不定积分的第一换元积分法。

③第二类换元积分法

掌握不定积分的第二类换元积分法。

④分部积分法

掌握不定积分的分部积分法。

4、教学重点和难点

教学重点：不定积分的基本公式。不定积分的第一类换元法、第二换元积分法，分部积分法。

教学难点：不定积分的第二类换元法。

五

1、标题

定积分及其应用

2、具体内容

    定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，积分上限的函数及其导数，牛顿一莱布尼茨公式，广义积分概念，定积分的应用 ，定积分的换元积分法与分部积分法。  

3、教学要求

① 定积分的概念

理解定积分的概念及其几何意义，知道定积分的性质。

② 微积分基本公式

知道积分上限函数，会求变上限积分的导数。

掌握微积分学基本定理——牛顿(Nawton)—莱布尼茨（Lcibniz）公式。

③ 定积分的换元法和分部积分法

掌握定积分的第一类换元法、第二类换元法，掌握定积分的分部积分法。

④广义积分

理解无穷限的广义积分及其收敛与发散的概念，会计算简单的无穷限广义积分。

了解无界函数的广义积分及其收敛与发散的概念，会计算简单的无界函数的广义积分。

⑤定积分的应用

理解定积分的微元法（元素法），必须掌握直角坐标系下平面图形的面积的计算方法。掌握旋转体体积的计算方法，掌握用定积分在经济问题中的简单应用。

4、教学重点和难点

教学重点：微积分基本公式，定积分的经济应用。定积分的第一类换元法、第二类换元法、分部积分法。直角坐标系下平面图形的面积的计算方法

教学难点：对定积分的概念的理解。

六

1、标题

多元函数微分学

2、具体内容

    空间直角坐标系，多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用。 

3、教学要求

① 空间直角坐标系

理解空间直角坐标系。掌握两点间距离。理解曲面方程，了解曲线方程。

② 多元函数、极限与连续性

理解多元函数的基本概念。掌握多元函数的定义域。知道二元函数的极限的概念。知道二元函数连续的概念。知道有界闭域上连续函数的性质。

③ 偏导数

掌握多元函数的偏导数，会求多元函数的偏导数。

④ 全微分

理解全微分的概念，会求多元函数的全微分。

⑤ 多元复合函数与隐函数的求导方法

掌握多元复合函数的偏导数，理解多元函数的高阶偏导数。会求二阶偏导数。

⑥ 隐函数的微分法

掌握由一个方程所确定的隐函数一阶偏导数及二阶偏导数。

⑦ 多元函数的极值

了解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。会解一些简单问题的最大、最小值的问题。

4、教学重点和难点

教学重点：偏导数和全微分的方法。多元复合函数的偏导数，隐函数的偏导数。二元函数极值的方法，最值问题。

教学难点：一个方程所确定的隐函数二阶偏导数，拉格朗日乘数法求条件极值。

七

1、标题

多元函数积分学

2、具体内容

    二重积分的概念和性质，直角坐标系和极坐标下二重积分的计算。 

3、教学要求

①二重积分

理解二重积分的概念、性质。掌握直角坐标系下的二重积分的计算方法，掌握极坐标下二重积分的计算方法。

4、教学重点和难点

教学重点：直角坐标系下的二重积分的计算。

教学难点：极坐标系下的二重积分的计算。

八

1、标题

无穷级数

2、具体内容

无穷级数的概念及其敛散性，正项级数的审敛法，交错级数的来布尼茨审敛法，绝对收敛、条件收敛的概念，幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域的概念，幂级数的和函数的求导与求积，常见函数的幂级数展开式。 

3、教学要求

① 数项级数

了解无穷级数敛散性及和的概念，知道无穷级数收敛的必要条件。了解几何级数和P级数的敛散性。

② 级数的审敛法

掌握正项级数的比较和比值审敛法。理解正项级数的根值审敛法。掌握交错级数的莱布尼兹审敛法。知道绝对收敛、条件收敛的概念。

③ 幂级数收敛

掌握幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域的求法。知道幂级数在其收敛区间上的运算及分析性质。了解常见函数的幂级数展开式、幂级数的运算和函数的连续性，和函数的求导与求积。

掌握几个常见函数的马克劳林级数.（ ）

4、教学重点和难点

教学重点：几何级数和P级数的敛散性。正项级数的比较和比值审敛法。交错级数的莱布尼兹审敛法。幂级数的收敛半径和收敛区间的求法。

教学难点：绝对收敛和条件收敛。求收敛级数的和函数问题。

九

1、标题

常微分方程和差分方程

2、具体内容

    微分方程的基本概念，一阶可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程，二阶常系数线性齐次微分方程，差分方程的基本概念，一阶常系数线性差分方程的求法，差分方程在经济上的应用。

3、教学要求

① 微分方程的基本概念

理解微分方程的基本概念。掌握通解的构成，掌握定解条件（初始条件）。

② 一阶线性微分方程

掌握一阶微分方程的可分离变量方程的求法，掌握一阶线性微分方程的解法，知道可降阶的高阶微分方程及线性微分方程通解的结构。 

③ 二阶微分方程

掌握二阶常系数线性齐次微分方程的通解求法。

了解二阶常系数线性非齐次微分方程的通解求法。

④ 微分方程的应用

理解微分方程在经济上的应用。

⑤ 差分方程的基本概念

理解差分方程的基本概念。掌握通解的构成，掌握定解条件（初始条件）。

⑥ 一阶常系数线性差分方程

掌握一阶常系数线性差分方程的求法。

⑦ 差分方程的应用

理解差分方程在经济上的应用。

4、教学重点和难点

教学重点：一阶线性微分方程和二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法。一阶常系数线性差分方程的求解方法。

教学难点：二阶常系数线性非齐次微分方程的通解求法。

 

第三部分 学时分配

 

	内容	讲课	习题	合计
一	函数、极限、连续	12	2	14
二	导数的概念	8	2	10
三	微分中值定理和导数的应用	12	2	14
四	不定积分	10	2	12
五	定积分及其应用	8	2	10
六	多元函数微分学	14	2	16
七	多元函数积分学	6	2	8
八	无穷级数	16	2	18
九	常微分方程与差分方程	16	2	18
累计		102	18	120