《高等数学》教学大纲

适用专业：生命工程学院本科各专业

课程编号：                      总学时：80                学分：10

第一部分  使用说明

一、课程性质、地位和教学目标

1、课程的性质、地位

高等数学课程是各专业学生的一门必修的重要基础理论课。它为学生学习后续课程提供了必不可少的数学知识，是学生进行专业理论课程的基础。

2、教学目标

通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本理论、基本方法，同时通过高等数学教学，让学生的思维更加严密、逻辑推理更加严格。通过高等数学的学习，培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，最后使学生具有抽象概括问题和综合运用知识来分析解决实际问题的能力。

二、教学要求

本大纲对概念的理解从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分，对运算方法从高到低用“熟练掌握”、“掌握”、“会或能”三级区分。

三、实施说明

1、成绩考核方法：平时+期末。其中，平时占总评成绩的30%，期末占总评成绩的70%。

2、教学方法、教学手段：讲练结合。

四、作业要求

每次课应有78道作业题来巩固知识，以练习册为主。

五、本课程与其它课程的联系

学习本课程应具备初等数学（高中水平）知识。

六、教材和参考书目

[1] 惠淑荣，李喜霞主编，《高等数学》，中国农业出版社，2010（第三版）。

[2] 惠淑荣，吕永震主编，《高等数学》，中国农业出版社，2002。

[3] 同济大学数学教研室主编，《高等数学》第四版，高等教育出版社，2002年（重印）。

[4] 同济大学应用数学系主编，《高等数学》第五版，高等教育出版社，2002年7月。

第二部分 教学内容纲要

内容一

1、 标题

函数、极限与连续

2、 具体内容

    主要复习高中学习过的初等函数及其性质，引入极限和连续性的定义及求极限的方法。 

3、 教学要求

① 函数

理解函数的概念；掌握函数的单调性、周期性和奇偶性，了解反函数的概念，知道函数的有界性，了解复合函数和初等函数的概念。 

② 数列的极限

了解数列极限的描述性定义，收敛数列的性质。

③ 函数的极限

理解函数极限的描述性定义，会求左极限与右极限，知道函数极限的性质。

④ 无穷小与无穷大

理解无穷小、无穷大的概念，了解无穷小与无穷大的关系。

⑤ 极限的运算法则

熟练掌握极限四则运算法则。

⑥ 两个重要极限

熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

⑦ 无穷小的比较

了解高阶无穷小，低阶无穷小，等价无穷小的定义，会用等价无穷小计算极限。

⑧ 函数的连续与间断

理解函数在一点连续与间断的概念，会判断函数的间断点及类型。

⑨初等函数的连续性

知道初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质。

4、教学重点和难点

教学重点：判断函数在某一点处的极限是否存在、是否连续，掌握极限四则运算法则，掌握用两个重要极限求极限的方法。 

教学难点：两个重要极限。

内容二

1、标题

导数与微分

2、具体内容

主要学习导数和微分的概念，一元函数一、二阶导数和微分的计算。

3、教学要求

① 导数的概念

了解导数概念的实际背景，能描述导数的概念掌握表达形式，会用导数（变化率）描述简单的实际问题，了解导数的几何意义，知道函数的可导性、可微性与连续性的关系。

② 函数的求导法则

熟练掌握函数和、差、积、商的求导法则，反函数的求导法则

③ 复合函数的求导法则

熟练掌握复合函数的求导法则。

④ 高阶导数、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

了解高阶导数的概念，会求初等函数的二阶导数，会求隐函数的导数和由参数方程所确定的函数的一阶导数。

⑤ 函数的微分

了解微分的概念，掌握函数微分的求法。

4、教学重点和难点

教学重点：导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数的导数，函数微分的求法。

教学难点：导数的概念，复合函数求导法。

内容三

1、标题

微分中值定理及导数的应用

2、具体内容

会用导数判断函数的性质，求函数的极限、极值，会解决应用中的简单的最大值和最小值问题。

3、教学要求

①微分中值定理  

理解罗尔、拉格朗日中值定理。

② 罗必塔法则

理解罗必塔法则，熟练掌握、型极限的求法。

③ 函数单调性的判定

熟练掌握利用导数符号判断函数单调性的方法。

④ 函数的极值及其求法

了解函数极值的概念，熟练掌握求函数极值的方法。

⑤ 函数的最大值最小值及其应用

掌握实际问题最值的求法。

⑥ 曲线的凸凹性及拐点

掌握用二阶导数判断函数图形的凸凹性，求曲线的拐点的方法。

⑦曲线的渐近线

会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。

4、教学重点和难点

教学重点：洛必达法则，求函数极值、凸凹性、拐点的方法。

教学难点：拉格朗日中值定理，函数凹凸性的判别。

内容四

1、标题

不定积分

2、具体内容

主要学习一元函数的不定积分，不定积分的概念和计算方法。

3、教学要求

① 不定积分的概念与性质

理解原函数、不定积分的概念，了解不定积分性质，熟练掌握基本积分公式。

② 换元积分法

掌握不定积分的第一类换元法。

③ 分部积分法

掌握不定积分的分部积分法。

4、教学重点和难点

教学重点：不定积分的基本公式、第一类换元法和分部积分法。

教学难点：不定积分的第一类换元法，分部积分法。

内容五

1、标题

定积分及其应用

2、具体内容

    主要学习一元函数的定积分，定积分的概念、意义、计算方法及应用。 

3、教学要求

① 定积分的概念

理解定积分的概念及其几何意义。

② 定积分的性质

知道定积分的性质。

③微积分学基本定理

理解积分上限函数和微积分学基本定理，熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

④定积分的计算

掌握定积分的第一类换元法，掌握定积分常见类型的分部积分法。

⑤ 广义积分

了解无穷区间上的广义积分及其收敛与发散的概念，会计算简单的无穷区间广义积分。

⑥ 定积分在几何学及物理学上的应用

理解定积分的微元法，熟练掌握用定积分求平面图形的面积及旋转体的体积的方法。

4、教学重点和难点

教学重点：微积分基本公式，定积分的第一类换元积分法和分部积分法，用定积分求平面图形的面积及旋转体的体积的方法。

教学难点：定积分的第一类换元积分法和分部积分法，运用微元法。

内容六

1、标题

多元函数的微分法

2、具体内容

    主要学习二元函数的偏导数和全微分，多元复合函数和隐函数的微分，偏导数的求解方法，多元函数的极值与最值。 

3、教学要求

①二元函数的基本概念

理解二元、多元函数的概念，理解二元函数的极限与连续的概念，知道有界闭域上连续函数的性质。

 ② 偏导数与全微分

理解偏导数和全微分的概念，会求多元函数的高阶偏导数和全微分。

③ 多元复合函数及其微分法

掌握多元复合函数的求导方法。

④ 隐函数及其微分法

会求由方程所确定的隐函数的偏导数。

⑤ 多元函数的极值

了解多元函数极值的概念，会求函数的极值；了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值；会解一些简单问题的最大、最小值的问题。

4、教学重点和难点

教学重点：求偏导数和全微分的方法，求二元函数极值的方法。

教学难点：二阶偏导数，拉格朗日乘数法求条件极值。

内容七

1、标题

二重积分

2、具体内容

    学习直角坐标系下的二重积分。 

3、教学要求

① 二重积分的概念与性质

理解二重积分的几何意义、概念与性质。

②二重积分的计算法

熟练掌握直角坐标系下的二重积分的计算方法。

4、教学重点和难点

教学重点：直角坐标系下的二重积分的计算。

教学难点：直角坐标系下的二重积分的计算。

内容八

1、标题

微分方程

2、具体内容

    主要学习常见的一阶、二阶微分方程的求解方法。 

3、教学要求

① 微分方程的基本概念

了解微分方程的基本概念。

② 一阶微分方程

掌握一阶可分离变量的微分方程的求法，掌握一阶线性微分方程的解法。

③可降阶的二阶微分方程

了解可降阶的高阶微分方程。

④ 二阶常系数线性微分方程

掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程求法，通解公式求法。

4、教学重点和难点

教学重点：可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程和二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法。

教学难点：一阶线性微分方程，可降阶的高阶微分方程。

 

 

 

 

 

 

 

 

第三部分 学时分配

	内容	讲课	习题	合计
一	函数、极限、连续	10	2	12
二	导数的概念	8	2	10
三	微分中值定理及导数的应用	10	2	12
四	不定积分	6	2	8
五	定积分及其应用	10	2	12
六	多元函数的微分法	10	2	12
七	二重积分	4	2	6
八	微分方程	4	0	4
	总复习		4	4
累计		62	18	80