《高等数学》教学大纲（理工A2类）

适用专业：我院装备分院、信息工程分院、能源系各专业的本科学生。

课程编号：                      总学时：120                 学分：15

第一部分  使用说明

一、课程性质、地位和教学目标

1、课程的性质、地位

    高等数学课程是各专业学生的一门必修的重要的基础理论课。它为学生学习后续课程提供了必不可少的数学知识，同时也为解决实际问题提供了有效的数学方法，是学生进行专业理论课程的基础。

2、教学目标

通过对本课程的学习，使学生具有初步的抽象概括问题的能力、一定的逻辑推理能力、比较熟练的基本运算能力、综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力以及自学能力等。

二、教学要求

本大纲对概念的理解从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分，对运算方法从高到低用“熟练掌握”、“掌握”、“会或能”三级区分，“熟悉”一词相当于“理解”或“熟练掌握”。

三、实施说明

1、成绩考核方法：平时+期中+期末。其中，平时占总评成绩的15%，期中占总评成绩的15%，期末占总评成绩的70%。

2、教学方法、教学手段：讲练结合。

四、作业要求

每次课应有7-8道作业题来巩固知识。

五、本课程与其它课程的联系

学习本课程应具备初等数学（高中水平）知识。

六、教材和参考书目

《高等数学》(上册)（少学时）第三版    主编：同济大学数学教研室     高等教育出版社，2006.7

《高等数学》(下册)（少学时）第三版    主编：同济大学数学教研室    高等教育出版社，2006.7

《高等数学》（第六版）  上、下册      同济大学应用数学系主编 高等教育出版社

第二部分 教学内容纲要

内容一

1、 标题

函数、极限、连续

2、 具体内容

    主要复习高中学习过的初等函数及其性质，并引入极限和连续性的定义及求极限的方法。 

3、 教学要求

① 函数

理解复合函数的概念，会分析复合函数的复合过程，了解分段函数的概念。

② 数列的极限

理解数列极限的描述性定义。

③ 函数的极限

理解函数极限的描述性定义。

④ 极限的运算

掌握极限四则运算法则，熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

    ⑤ 无穷小量

理解无穷小、无穷大的概念，会对无穷小量进行比较。

⑥ 函数的连续性

知道函数在某一点连续的概念，会判断间断点的类型，知道初等函数的连续性，知道闭区间上连续函数的性质，会求连续函数和分段函数的极限。

4、教学重点和难点

教学重点：掌握极限四则运算法则，掌握用两个重要极限及等价无穷小代换求极限的方法。

教学难点：两个重要极限。

内容二

1、标题

导数与微分

2、具体内容

    主要学习导数和微分的概念，学会计算一元函数的一、二阶导数和微分，了解导数的初步应用。 

3、教学要求

① 导数的概念

理解导数的概念及导数的几何意义和物理意义，知道一元函数可导、可微、连续之间的关系，能用导数描述各种常见的物理量。

② 求导法则

熟练掌握导数的运算法则，熟练掌握复合函数的求导法。

③ 隐函数、参数式函数的一阶导数  

会求隐函数、参数式函数的一阶导数。

④ 高阶导数

知道高阶导数的概念，会求初等函数的一、二阶导数。

⑤ 微分

理解微分的概念，知道微分的几何意义，熟练掌握函数微分的求法。

4、教学重点和难点

教学重点：导数的概念，导数的四则运算法则、复合函数求导法则，函数的微分求法。

教学难点：导数的概念的理解，复合函数求导法。

内容三

1、标题

微分中值定理和导数的应用

2、具体内容

    学会利用导数判断函数的性质，解决实际中的极值问题。

3、教学要求

① 中值定理

知道罗尔、拉格朗日中值定理。

② 洛必达法则

了解罗必达法则，掌握、型极限的求法。

③ 函数的单调性

掌握利用导数符号判断函数单调性的方法，利用单调性证明不等式的方法。

④ 函数的极值

了解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法及求实际问题最值的方法。

⑤ 函数图形的凹凸性，曲线的拐点

掌握求函数图形的凹凸性及曲线的拐点的方法。

⑥ 函数作图

能描绘简单函数的图象，会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。

4、教学重点和难点

教学重点：求实际函数极值的方法。

教学难点：中值定理。

内容四

1、标题

不定积分

2、具体内容

    主要学习一元函数的不定积分，了解不定积分的概念及计算方法。 

3、教学要求

① 不定积分概念

理解原函数和不定积分的概念，知道不定积分的性质，熟悉不定积分的基本公式。

② 换元积分法

掌握不定积分的第一类换元法。

③ 分部积分法

掌握不定积分的分部积分法。

4、教学重点和难点

教学重点：不定积分的基本公式，不定积分的第一类换元法，分部积分法。

教学难点：不定积分的第二类换元法。

内容五

1、标题

定积分

2、具体内容

    主要学习一元函数的定积分，定积分的概念、意义及计算方法及应用。 

3、教学要求

① 定积分的概念

理解定积分的概念及其几何意义，知道定积分的性质, 知道积分上限函数和微积分学基本定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

② 定积分的换元法

掌握定积分的第一类换元法。

③ 定积分的分部积分法

掌握定积分常见类型的分部积分法。

④ 定积分的应用

理解定积分的微元法，熟练掌握用定积分求平面图形的面积及旋转体的体积的方法。

⑤ 广义积分

了解无穷限的广义积分及其收敛与发散的概念，会计算简单的无穷限广义积分。

了解无界函数的广义积分及其收敛与发散的概念，会计算简单的无界函数的广义积分。

4、教学重点和难点

教学重点：定积分的概念，微积分基本公式，理解微元法。

教学难点：定积分的第一类换元积分法和分部积分法，运用微元法。

内容六

1、标题

空间解析几何

2、具体内容

主要学习空间直角坐标系，平面方程与直线方程，空间曲面及曲线。

3、教学要求

① 空间直角坐标系

理解空间直角坐标系，理解向量的概念，熟悉向量的模、单位向量和方向余弦的坐标表达式。

掌握向量的数量积和向量积运算，了解两个非零向量平行、垂直的充要条件。

② 平面方程与直线方程

会求平面方程的点法式方程，会求直线方程的点向式方程。

③ 空间曲面及曲线

知道曲面方程的概念，认识常用二次曲面的方程及图形。知道常见的柱面方程的特征。

4、教学重点和难点

教学重点：单位向量，向量的数量积和向量积运算。平面方程的点法式方程和直线方程的点向式方程。

教学难点：向量积运算。

内容七

1、标题

多元函数微分学

2、具体内容

    主要学习二元函数的偏导数和全微分，偏导数的求解方法，多元函数的极值与最值，以及实际中的最值问题。 

3、教学要求

① 多元函数、极限与连续性

理解多元函数的概念，知道二元函数的极限的概念。

知道二元函数连续的概念，知道有界闭域上连续函数的性质。

 ② 偏导数和全微分

理解偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数和全微分。

③ 多元复合函数的求导方法

掌握多元复合函数的求导方法，会求二阶偏导数，会求由方程所确定的隐函数的偏导数。

④ 多元函数的极值

了解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。会解一些简单问题的最大、最小值的问题。

4、教学重点和难点

教学重点：求偏导数和全微分的方法，求二元函数极值的方法，最值问题。

教学难点：二阶偏导数，拉格朗日乘数法求条件极值。

内容八

1、标题

多元函数积分学

2、具体内容

    学习直角坐标系下和极坐标系下的二重积分。 

3、教学要求

① 二重积分

理解二重积分的概念，掌握直角坐标系下的二重积分的计算方法，了解极坐标下重积分的计算方法。

4、教学重点和难点

教学重点：直角坐标系下的二重积分的计算。

教学难点：极坐标系下的二重积分的计算。

内容九

1、标题

无穷级数

2、具体内容

    主要学习无穷级数的定义，无穷级数敛散性的判别，介绍幂级数的收敛区间并介绍常见函数的幂级数展开式。 

3、教学要求

① 数项级数

了解无穷级数敛散性及和的概念，知道无穷级数收敛的必要条件。了解几何级数和P—级数的敛散性。

② 级数的审敛法

掌握正项级数的比较审敛法、比较审敛法的极限形式和比值审敛法。

③ 交错级数

掌握交错级数的来布尼兹审敛法。知道绝对收敛、条件收敛的概念。

④ 幂级数收敛

掌握幂级数的收敛半径和收敛区间的求法。知道幂级数在其收敛区间上的运算及分析性质。了解常见函数的幂级数展开式。

⑤ 函数展开成幂级数

知道泰劳(Taylor)公式和泰劳级数，知道马克劳林公式和马克劳林级数。

知道将函数展开成幂级数的直接展开法，掌握将函数展开成幂级数的间接展开法。

4、教学重点和难点

教学重点：正项级数的比较、比较判别法的极限形式和比值审敛法。交错级数的莱布尼兹审敛法。幂级数的收敛半径和收敛区间的求法。掌握将函数展开成幂级数的间接展开法。

教学难点：正项级数的比较审敛法。交错级数的莱布尼兹审敛法，掌握将函数展开成幂级数的间接展开法。

内容十

1、标题

常微分方程初步

2、具体内容

    主要学习常见的一阶、二阶微分方程的求解方法。 

3、教学要求

① 微分方程的基本概念

了解微分方程的基本概念。

② 一阶线性微分方程

掌握一阶微分方程的可分离变量方程的求法，掌握一阶线性微分方程的解法，了解齐次方程的求解方法，知道可降阶的高阶微分方程。

③ 二阶微分方程

掌握二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程求法，通解公式求法。

4、教学重点和难点

教学重点：可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程和二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法。

教学难点：齐次方程的解法，可降阶的高阶微分方程。

第三部分 学时分配

本课程教学任务分两个学期完成

	内容	讲课	习题	合计
一	函数、极限、连续	8	2	10
二	导数的概念	10	2	12
三	微分中值定理和导数的应用	10	2	12
四	不定积分	8	2	10
五	定积分	10	2	12
六	空间解析几何	10	2	12
七	多元函数微分学	12	2	14
八	多元函数积分学	6	2	8
九	无穷级数	10	2	12
十	常微分方程初步	8	2	10
	总复习			4
	机动			4
累计		92	20	120